تمارين متنوعة في الرياضيات

Exercices
Exercice 1 :
On donne :
, ,
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous la forme où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
3. Calculer C et donner son écriture scientifique.
Exercice 2 :
On considère l'expression :
E = (3x + 2)2 — (5 — 2x)(3x + 2).
1. Développer et réduire l'expression E .
2. Factoriser E.
3. Calculer la valeur de E pour x = —2.
4. Résoudre l'équation (3x + 2)(5x — 3) = 0.
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
Excercice 3 :
1. On considère le nombre :
Calculer A en détaillant les calculs et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. On considère le nombre :
En détaillant les calculs, donner l'écriture scientifique de B.
3. On considère le nombre :
En détaillant les calculs, écrire C sous la forme , où a est un nombre entier.
Excercice 4 :
1.
a. 71 est-il un diviseur de 852 ?
b. 71 est-il un diviseur de 355 ?
2. Les nombres 852 et 355 sont-ils premiers entre eux ? Justifier votre réponse.
3. En déduire une simplification de la fraction.
Excercice 5 :
On considère l'expression : D = (2x — 5)2 + (3x + (2x — 5)
1. Développer et réduire D
2. Factoriser D.
3. Calculer D pour x = —1
4. Résoudre l'équation : (2x — 5)(5x + 3) = 0.
Exercice 6 :

1. Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous forme où a est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.
3. Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.
Exercice 7 :
Soit D = (2x + 3)2 + (2x + 3)(7x — 2)
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Calculer D pour x = —4.
4. Résoudre l'équation (2x + 3)(9x + 1) = 0
Exercice 8 :
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
1. Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes !) ? Expliquer votre raisonnement.
2. Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
Exercice 9 :
En précisant les différentes étapes de calcul :
1. Ecrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible :
2. Ecrire le nombre B ci-dessous sous la forme , où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible :

3. Donner l'écriture scientifique de C :
Exercice 10 :
On donne :
D = (2x — 3)(5 — x) + (2x — 3)2
1. Développer et réduire D.
2. Factoriser D.
3. Résoudre l'équation : (2x — 3)(x + 2) = 0
Exercice 11 :
Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous la forme où a est un entier.
3. Donner les écritures décimale et scientifique de C.
Exercice 12 :
On considère l'expression :
1. Développer et réduire E.
2. Factoriser E.
3. Résoudre l'équation

Exercice 13 :
Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

2. Ecrire B sous la forme où a est un entier.
3. Donner les écritures décimale et scientifique de C.
Exercice 14 :
On considère l'expression :

1. Développer et réduire E.
2. Factoriser E.
3. Résoudre l'équation
Alain, Bernard et Charlotte décident de faire chacun une question de l'exercice suivant :

1. Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2. Calculer B et donner le résultat sous forme d'un nombre entier.
3. Ecrire C sous la forme , a étant un nombre entier relatif.
Alain calcule A et propose ; Bernard calcule B et propose ; Charlotte calcule C et propose .
Ces réponses vous semblent-elles satisfaisantes ? Justifier vos affirmations.
Exercice 15 :
On considère l'expression
1. Développer et réduire l'expression E.
2. Factoriser . En déduire la factorisation de l'expression E ?
3.
a. Résoudre l'équation
b. Cette équation a-t-elle une solution entière ?
c. Cette équation a-t-elle une solution décimale ?
Exercice 16 :
1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?



Exercice 17 :
Soit A = et B =
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Ecrire B sous la forme où a est un entier relatif.
Exercice 18 :
On donne l'expression
1. Développer et réduire A.
2. Factoriser A.
3. Résoudre l'équation
Exercice 19 :
Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.
1. Calculer le nombre de tartelettes.
2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette
Exercice 20 (4 points)
Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.
1. Calculer l'expression : (donner le résultat sous sa forme la plus simple).
2. Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que :
3. Ecrire sous la forme (où a est un entier) le nombre C tel que :
4. Développer et simplifier :
Exercice 21 (2 points)
Répondre aux questions suivantes. (Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice : on ne demande pas d'étapes intermédiaires ni de justification).
a. Donner un arrondi au centième du nombre A tel que :
b. Convertir 3,7 heures en heures et minutes.
c. Donner un arrondi au millième du nombre B tel que :
d. Calculer à 0.01 près
Exercice 22 (3 points)
1. Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.
2. En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction n'est pas irréductible.
3. Donner la fraction irréductible égale à .


Exercice23 :
1. Calculer .
On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.
2. On considère .
a. Calculer B ; le résultat sera donné en écriture décimale.
b. Ecrire B en écriture scientifique.
3. Calculer l'expression .
On donnera le résultat sous la forme où a est un entier relatif.
Exercice 24 :
1. Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.
2. Ecrire la fraction sous forme irréductible.
Exercice 25 :
On considère l'expression suivante : .
1. Développer et réduire E.
2. Factoriser E.
3. Calculer E pour x = 5.
4. Résoudre l'équation x(x - 3) = 0.






















Exercice 1
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de refaire cette figure.

ABC est un triangle tel que : AB = 16 cm, BC = 12 cm et AC = 20 cm.
D est le point du segment [AB] tel que BD = 5 cm.
E est le point du segment [AC] tel que AE = 8 cm.
Las parallèle à la droite (CD) passant par E coupe le segment [AB] en F.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
2. Calculer la mesure de l'angle (on donnera la valeur arrondie au degré près).
3. Démontrer que CD = 13 cm.
4. Calculer la longueur EF.
Exercice 2
1. Placer les points A(—3 ; 1), B(—1,5 ; 2,5) et C(3 ; —2) dans le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe 1 ci-jointe.
2. Montrer que .
3. Sachant que et , démontrer que ABC est un triangle rectangle.
4. Placer le point D image de C par la translation de vecteur .
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
Exercice 3
Soit un cercle de centre O et de diamètre [ST] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.
1. Faire une figure.
2. Démontrer que STU est un triangle rectangle en U.
3. Donner la valeur arrondie au dixième de l'angle .
4. En déduire une valeur approchée au dixième de . Justifier votre réponse.
Exercice4
Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.


On a cm, cm, CO = 3 cm, est un angle droit et .
1. Montrer que OB = 9 cm.
2. Montrer que les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
Annexe 1

Exercice 5 :
La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur, elle n'est pas à reproduire.

Les points A, C et F sont alignés, ainsi que les points B, C et G.
Les droites (AB) et (GF) sont parallèles.
AB = 3 cm
FC = 8,4 cm
FG = 11,2 cm
1. Calculer la longueur CA.
2. Soient D le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que :
FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm.
Montrer que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.
Exercice 6 :
1. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 5 cm et = 40°.
2. Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre).
3.
a. Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ? Justifier.
b. Tracer ce cercle.
4. En déduire la mesure de l'angle .

Exercice7 :
Pour la pyramide SABCD ci-dessous :

La base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 3 cm et BD = 5 cm.
La hauteur [SO] mesure 6 cm.
1. Montrer que AD = 4 cm.
2. Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm3.
3. Soit O' le milieu de [SO].On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
a. Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
b. La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction.
c. Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'.
Exercice 8 :
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de la reproduire.

Les points A, C et E sont alignés, ainsi que les points B, C et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Les longueurs suivantes sont exprimées en centimètres.
BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE = 4 ; CE = 10,4.
1. Montrer que le triangle CDE est rectangle en D.
2. En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
3. Calculer la longueur AB.



Exercice 9 :
On considère la figure ci-contre qui n'est pas réalisée en vraie grandeur.

Les points S, P, E et B sont alignés ainsi que les points N, P, C et M.
Les droites (MB) et (NS) sont parallèles.
On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.
1. Démontrer que le triangle PBM est rectangle.
2. En déduire la mesure de l'angle arrondie au degré près.
3. Calculer la longueur NS.
4. On considère le point E du segment [PB] tel que PE = 3,4 cm et le point C du segment [PM] tel que PC = 3 cm.
Les droites (CE) et (MB) sont-elles parallèles ?
Exercice 10 :
La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.
1. Placer les points : A (—2 ; 1), B (3 ; 2), C (—3 ; —2) et G (7 ; 0).
2.
a. Placer le point E tel que . En déduire la nature du quadrilatère ABEC.
b. Donner par lecture graphique les coordonnées du point E.
3. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
4. Placer le point F(—1 ; 4) et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A.
5. Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG
Exercice11 :
La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.
1. Placer les points : A (—2 ; 1), B (3 ; 2), C (—3 ; —2) et G (7 ; 0).
2.
a. Placer le point E tel que . En déduire la nature du quadrilatère ABEC.
b. Donner par lecture graphique les coordonnées du point E.
3. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.
4. Placer le point F(—1 ; 4) et démontrer que F est le symétrique de C par rapport à A.
5. Démontrer que B est le milieu du segment [FG] et en déduire sans autre calcul la longueur CG.
Exercice 12 :
1. Construire un triangle ABC tel que BC = 7 cm, = 37° et = 53°.
2. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.
3. Calculer la longueur CA puis donner la valeur arrondie au mm.
Exercice 13 :
1. Sur la page annexe, dans un repère orthonormé (O,I,J) tel que OI = OJ = 1 cm,
2. placer les points A(O ; 4) B(3 ; 2) C( -1 ; -4).
2. Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
3. En admettant que cm et cm, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
4. Placer dans le repère le point E image du point C dans la translation de vecteur .
5. Démontrer que le quadrilatère ABCE est un rectangle.


Exercice 14 (5 points)

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AE = 3 m ; AD = 4 m ; AB = 6 m.
1.
a. Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
b. Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?
2.
a. Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
b. En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle.
3. Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 m3.
4. Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 m2.
Exercice 15 (3 points)
Sur le dessin ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin).
De plus, on donne les longueurs suivantes :
CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm, OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.
1. Calculer (en justifiant) OD et AB.
2. Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Exercice 16 (4 points)
Soit ABC un triangle tel que AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm, AC = 7 cm.
1. Faire une figure en vraie grandeur.
2. Prouver que ABC est rectangle en B.
3. Calculer le périmètre et l'aire de ABC.

Exercice 17 :
Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.
On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points O, B, D sont alignés, ainsi que les points O, A, C.
On donne les mesures suivantes : OA = 8 ; OB = 6 ; OC = 10.

1. Calculer la longueur BD.
La démarche suivie sera expliquée sur la copie.
2. Dans les questions qui suivent, on suppose que est droit.
a. Calculer puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l'angle .
b. Justifier que le triangle ODC est rectangle.
c. En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD (On pourra admettre que OD = 7,5).
Exercice 18 :
On considère un repère orthonormal (O, I, J) (unité : le centimètre).
1. Placer les points A (-2 ; 3) et C (3 ; 2) dans le repère précédent.
2. Calculer les distances OA, OC et AC. On donnera les valeurs exactes de ces distances.
3. Montrer que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O.
4. Construire le point B tel que .
5. En déduire la nature du quadrilatère OABC.
6. Déterminer les coordonnées du point M, centre de symétrie du quadrilatère OABC.
Exercice 19 :
1. Tracer un segment [EF] de 10 cm de longueur puis un demi-cercle de diamètre [EF].
Placer le point G sur ce demi-cercle, tel que EG = 9 cm.
a. Démontrer que le triangle EFG est rectangle.
b. Calculer la longueur GF arrondie au mm.
2. Placer le point M sur le segment [EG] tel que EM = 5,4 cm et le point P sur le segment [EF] tel que EP = 6 cm.
Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.